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10 K. Stellmacher, Math. Ann. 115, 740 (1938).
11 Vgl. K. Stellmacher, l. c. Anm. 10.
12 Nach A. Papapetrou u. H. Treder, l. c. Anm. 10, gilt diese Formel auch für die Sprünge erster Ordnung.
15 H. Treder, Ann. Physik (7) 2, 225 (1958).
17 L. P. Eisenhart, l. c. Anm. 9, S. 57 - 59.
1923, S. 359.
1 Vgl. A. Einstein, Berliner Berichte, 1919, S. 349;
20 A. Papapetrou, Ann. Physik (7) 1, 186 (1958).
22 Y. Thiry, J. Math. pures et appliquees (9) 30, 275 (1951);
23 L. Marder, Proc. Roy. Soc. London (A) 246, 133 (1958).
24 Vgl. auch D. Geissler, A. Papapetrou u. H. Treder, Ann. Physik (7) 2, 344 (1959).
25 Vgl. A. Einstein, The Meaning of Relativity, London 1951, S. 127 - 157.
26 Vgl. hierzu auch M. Wyman, Canad. J. Math. 2, 427 (1950).
27 Vgl. M. Lenoir, C. R. hebd. Seances Acad. Sci. 237, 424 (1953).
28 A. Papapetrou, Physic. Rev. 73, 1105 (1948);
29 E. Schrödinger, Proc. Roy. Irish Acad. (A) 52, (1948).
2 Vgl. A. Papapetrou, Ann. Physik (6) 20, 399 (1957).
31 A. Lichnerowicz, l. c. Anm. 6, S. 275 - 288.
3 A. Einstein, Revista (Univ. Nac. de Tucuman) A 2, 11 (1941).
4 A priori darf man wohl nicht den Fall ausschließen, daß die Grenzbedingung (3) physikalisch unzutreffend ist und man vielmehr von der Hypothese eines räumlich endlichen Weltalls etwa im Sinne der Betrachtungen Eddingtons (vgl. Fundamental Theory, Cambridge 1948) ausgehen muß. In diesem Fall Wäre die Grenzbedingung (3) durch einfache Eindeutigkeitsbedingungen zu ersetzen. Es sei jedoch bemerkt, daß bei Zugrundelegung eines räumlich endlichen Weltalls die Behandlung des Einsteinschen Teilchenproblems sehr viel komplizierter wäre als bei Verwendbarkeit der Grenzbedingung (3). Denn in einem solchen kosmologischen Raum müßten im Prinzip alle Teilchen des Universums gleichzeitig berücksichtigt werden.
5 A. Einstein, l. c. Anm. 3;
6 A. Lichnerowicz, C. R. hebd. Seances Acad. Sci. 222, 432 (1946);
7 A. Papapetrou, Ann. Physik (6) 20, 399 (1957);
8 A. Lichnerowicz, l. c. Anm. 6, S. 27 - 33.
9 L. P. Eisenhart, Riemannian geometry, Princeton 1949, S. 41 - 43.
A. Einstein u. W. Pauli, Annals of Math. 44, 131 (1943).
A. Lichnerowicz, l. c. Anm. 6, S. 227 - 231. Die in diesem Beweis verwendete zusätzliche Forderung, daß die elektromagnetische Feldstärke Fμν im Unendlichen mindestens wie r-2 verschwindet, ist als unabhängige Annahme nicht notwendig, da sie aus den Gravitationsgleichungen (12a) und der Grenzbedingung (3) folgt.
Ann. Physik (7) 1, 186 (1958);
Ann. Physik (7) 2, 87 (1958).
In dieser Arbeit ist der Fall behandelt, daß die niedrigsten unstetigen Ableitungen von gμν die zweiten oder höheren Ableitungen sind. Die Stellmacherschen Ergebnisse gelten auch für die Sprünge der ersten Ableitungen wie von A. Papapetrou u. H. Treder, Mathematische Nachrichten, 20 (im Druck) bewiesen wurde;
Theories relativistes de la gravitation et de l'Électromagnetisme, Paris 1955, S. 126 - 146.
vgl. auch A. Einstein, The Meaning of Relativity, Princeton 1955, S. 163.
vgl. auch St. O'Brien u. J. L. Synge, Comm. of the Dublin Inst. for Advanced Studies A No. 9 (1952). Die gμν selbst können bei Forderung einer regulären Metrik nicht springen, wie in einer späteren Arbeit gezeigt werden soll.
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Die von Einstein gestellte Frage nach der Existenz von singularitätsfreien Lösungen der Gravitationsgleichungen, die die Grenzbedingung <I>g</I>μν η μν für <I>r</I> → ∞ erfüllen (und die als Modelle von beständigen Teilchen verwendbar sein könnten), wurde für den Fall der stationären Lösungen durch die Untersuchungen von Einstein und Pauli und von Lichnerowicz negativ beantwortet. In der vorliegenden Arbeit wird die Existenz von zeitlich periodischen singularitätsfreien Lösungen der Gravitationsgleichungen diskutiert. Aus den Ergebnissen von Papapetrou über das asymptotische Verhalten von periodischen Feldern folgt, daß eine solche Lösung nur in einem endlichen Innenbereich des dreidimensionalen Raumes, in dem das Gravitationsfeld stark ist, zeitlich periodisch sein könnte und mittels einer Sprungfläche an ein stationäres Außenfeld anzuschließen wäre. Aus Stellmachers Untersuchungen über die mit den Feldgleichungen verträgliche Sprünge folgt nun, daß diese Sprungfläche eine glatte Nullhyperfläche sein muß. Es wird dann ein geometrischer Satz über glatte Hyperflächen hergeleitet, aus dem sich ergibt, daß eine derartige Sprungfläche nicht existieren kann. Demnach erlaubt Einsteins Theorie des reinen Gravitationsfeldes auch keine zeitlich periodischen singularitätsfreien Lösungen und somit keine Modelle beständiger Teilchen. - Auf dasselbe negative Ergebnis führt auch die Diskussion der notwendigen Eigenschaften von zeitlich periodischen singularitätsfreien Lösungen der Einstein-Maxwellschen Feldgleichungen für das kombinierte Gravitations- und elektromagnetische Feld.
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