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auf Grund der Arbeiten von M. Ostrogradski (1850), jedoch ohne Angabe der oben ausgeführten allgemeinen Reduktionsmethode.
Courant-Hilbert, a. a. O., S. 280.
p657_1) Anm. bei der Korrektur. Ich verdanke einer Korrespondenz mit Prof. E. Hellinger (Frankfurt a. M.) die freudliche Mitteilung, daß Hilbert in seinen Vorlesungen über Variationsrechnung auf die Bedeutung der kanonischen Gleichungen als Normalisierung aller Variationsprobleme schon seit langem hingewiesen hat, so daß diese Tatsache in die mathematische Literatur hinlänglich übergegangen ist. Wenn dieses einleitende Kapitel demnach im wesentlichen als Referat zu betrachten ist, so dürfte seine Vorausschickung dennoch nicht überflüssig sein. Verf. geht wohl kaum fehl in der Vermutung, daß so wie ihm auch vielen anderen theoretischen Physikern diese fundamentalen Zusammenhänge nicht bekannt gewesen sind.
p657_2) Das Summenzeichen über gleiche Indizes soll dem neueren Gebrauch entsprechend im folgenden weggelassen werden. Über gleiche Indizes ist also automatisch zu summieren.
p658_1) Die Möglichkeit, auch höhere Variationsprobleme auf die kanonische Form zu reduzieren, wird erwähnt in E. T. Whittaker, Analytische Dynamik (Springer, 1924) S. 282,
p658_2) Diesem Umstand dürfte es zuzuschreiben sein, daß die kanonischen Gleichungen Hamiltons in modifizierter Interpretation auch für die moderne Wellenmechanik fundamental sind. Weit über den Rahmen der eigentlichen Mechanik hinaus scheint die ganze Natur von Variationsproblemen beherrscht. Es fallen darum sämtliche Differentialgleichungen der Physik in den Rahmen der kanonischen Gleichungen, die somit das umfassendste Gleichungssystem der mathematischen Physik darstellen. In einer früheren Arbeit (Ztschr. f. Phys. 81. S. 703. 1933;
p660_1) Vgl. z. B. H. Weyl, Gruppentheorie und Quantenmechanik, 2. Aufl. (Hirzel, Leipzig 1931), S. 204.
p662_1) Vgl. E. T. Whittaker, a. a. O., S. 316.
p665_1) Zur Transformationstheorie quadratischer Formen vgl. z. B. Courant-Hilbert, Methoden der mathem. Physik I, 2. Aufl. Springer 1932, S. 19.
p668_1) Vgl. Born-Heisenberg-Jordan, Ztschr. f. Phys. 35. S. 578. 1926. Die verschiedenen Quantenzustände entsprechen den verschiedenen Hauptachsen der Hamiltonschen Funktion im Hilbertschen Funktionenraum.
p669_1) Gelegentlich eines Vortrags in Rochester (N.-Y.) bin ich darauf hingewiesen worden, daß die Normalform (57) der Hamiltonschen Funktion schon durch G. D. Birkhoff, Dynamical Systems (Am. Math. Soc. 1927), S. 82, eingeführt und benutzt worden ist. Die allgemeinen Gesichtspunkte, Methoden und Resultate der vorliegenden Arbeit dürften jedoch als neu anzusprechen sein. Es ist anscheinend noch nicht bemerkt worden, daß die Theorie der linearen kanonischen Transformationen auf die Invarianz der Differentialform (30) - in Verbindung mit der symmetrisierten Form (31) des kanonischen Integrals - aufgebaut werden muß und daß diese Transformationen eine Hauptachsentheorie quadratischer Formen entwickeln lassen, die von hoher ästhetischer Vollendung ist und der klassischen orthogonalen Hauptachsentheorie ebenwertig zur Seite steht.
p679_1) Vgl. z. B. E. Madelung, Die mathematischen Hilfsmittel des Physikers, 2. Aufl. Springer (Berlin 1925), S. 55;
p681_2) Vgl. Courant-Hilbert, a. a. O. S. 302ff.
Ztschr. f. Phys. 85. S. 107. 1933) hatte Verf. versucht zu zeigen, daß die Maxwellschen Gleichungen, wie auch die Diracschen Gleichungen des Elektrons als Hamiltonsche kanonische Gleichungen aufgefaßt werden können.
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Es wird eine spezielle Gruppe der Hamiltonschen kanonsischen Gleichungen untersucht, bei denen die Hamiltonsche Funktion als quadratische Form der Veränderlichen <I>q</I><sub><I>k</I></sub>, <I>p</I><sub><I>k</I></sub> erscheint. Alle selbstadjungierten linearen Differentialgleichungen oder Systeme solcher Gleichungen, sowie alle Störungsprobleme der Mechanik und Astronomie gehören unter diese Gruppe. In Analogie zur üblichen Hauptachsentransformation quadratischer Formen auf Grund orthogonaler Transformationen wird die „kanonische Hauptachsentransformation“ der Hamiltonschen Funktion auf Grund linearer kanonischer Transformationen entwickelt. Im Hauptachsensystem sind die kanonischen Gleichungen separiert und direkt integrierbar. Diese Methode gibt ein sehr brauchbares sukzessives Näherungsverfahren zur Integration sämtlicher für die mathematische Physik fundamentaler Differentialgleichungen.
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- Forschungsartikel