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angegebenen Verfahren lösen, wie J. E. Jones (Phil. Trans. [A] 223. S. 1. 1923) gezeigt hat.
Ann. d. Phys. 70. S. 457. 1923;
Ausführliche Besprechung von O. E. Meyer, Beibl. S. 455. 1882.
D. Enskog, Diss. S. 27.
D. Enskog, Diss. S. 27 ff. ist wiederum nicht ganz konsequent im Sinne unseres Verfahrens wir hier die Bedingungen (101) heranziehen, die für die eindeutige lösung der Gleichungen (92) maßgebend sind. Wären wir von Integralgleichungen in einer Variablen, also von (91) ausgegangen wären die Bedingungen (81) und (82) hinreichend zur eindeutigen legung der Lösung. Man kann die Bedingungen (101) auch durcl Bedingungen (81) und (82) ersetzen zusammen mit der Forderung, die Lösung von der Form χm (C) · IImμ sein muß. Diese Forderung spricht dann dem Übergang von (91) zu (92).
D. Enskog, Diss. S. 36 - 41;
D. Enskog, Phys. Z. 12. S. 56. 1911.
Der Bewies, daß es sich um lineare Integralgleichungen zweiter Art handelt, folgt aus dem von Enskog gegebenen Beweise (Diss. S. 140 ff.) und der Tatsache, daß unsere Gleichungen (91) aus den von Enskog betrachteten Gleichungen für f(i) durch Multiplikation mit IImμ d ω und Integration über die Einheitskugel hervorgehen.
Die Bezeichnungen sind jedoch gewählt wie bei Riemann-Weber, Die partiellen Differentialgleichungen der mathematischen Physik, Bd. I. Braunschweig 1910. Abschn. 13.
Grundzüge einer allgemeinen Theorie der linearen Integralgleichungen, S. 267. Leipzig und Berlin 1912.
J. Cl. Maxwell, Scient. Pap. II. S. 681.
M. Knudsen, Ann. d. Phys. 31. p. 205. 633. 1910.
man vgl. auch J. H. Jeans, Dynamische theorie der Gase. Deutsch von R. Fürth. S. 291 - 293. 1926.
p196_1) Wir rechnen die Untersuchungen, die im Anschluß an Maxwells grundlegende Arbeit „On Stresses in Rarefied Gases arising from Inequalities of Temperature“ den Spannungstensor in höherer Näherung zu bestimmen suchen, aus methodischen Gründen zur ersten Gruppe.
p196_2) O. Reynolds, Phil. Trans. Lond. 170. S. 727. 1879;
p196_3) Die Bezeichnungen „innere Reibungsströmung“ und „Molekularströmung“ rühren von M. Knudsen, her, Ann. d. Phys. 28. S. 75. 1909.
p196_4) Eine Ausnahme macht nur die schon zitierte große Abhandlung von Reynolds „On certain Dimensional Properties of Matter in the Gaseous State“, die dem Verfasser erst nach Abschluß der vorliegenden Untersuchung im Original bekannt geworden ist. Reynolds behandelt im wesentlichen die von ihm auf theoretischer Grundlage wiederent deckte Thermodiffusion und die Druckwirkungen, die von Temperaturungleichheiten herrühren; die Gesetze dieser Erscheinungen werden in einheitbehen Formeln dargestellt, die niedrigste und höhere Drucke umfassen. Trotzdem kann Reynolds Behandlung nicht als Lösung des von uns gestellten Problems angesehen werden, weil der Übergang zwischen den beiden Gebieten nicht molekular-kinetisch abgeleitet, sondern durch Ansatz willkürlicher Funktionen hergestellt wird. Im übrigen ist die Reynoldsche Abhandlung - bei aller ihrer historischen Bedeutung - methodisch nicht einwandfrei und führt auch zu numerisch nicht richtigen Ergebnissen. [Man vgl. dazu J. E. Jones, Phil. Trans. (A)] 223. S. 1. 1923.
p197_1) M. v. Smoluchowski, Ann. d. Phys. 33. S. 1559. 1910.
p198_1) M. Knudsen, Ann. d. Phys. 28. S. 75. 1909.
p198_2) Vorträge über die kinetische Theorie der Materie und der Elektrizität. A. Sommerfeld, Probleme der freien Weglänge, S. 147 ff. Leipzig und Berlin 1914.
p198_3) G. Jaffe, Ann. d. Phys. 68. S. 583. 1922;
p201_1) D. Hilbert, Math. Ann. 72. S. 562. 1912.
p201_2) D. Enskog, Kinetische Theorie der Vorgänge in mäßig verdünnten Gasen. I. Inaug.-Diss. Uppsala 1917. Arkiv för Mat. Astron. och Fys. 16. Nr. 16. 1922.
p202_1) Für die Einzelheiten verweisen wir auf die Darstellung in Boltzmanns Vorlesungen, der wir uns auch in der Bezeichnung nach Möglichkeit anschließen. ( L. Boltzmann, Vorlesungen über Gastheorie I. Teil. § 15 ff).
p204_1) D. Enskog, Kinetische Theorie der Vorgänge in mäßig verdünnten Gasen. Dissertation Uppsala 1917. Auf diese wichtige Arbeit verweisen wir im folgenden mit dem Hinweis Dissertation und folgender Seitenzahl. Für das Obige vgl. man S. 141 ff.
p204_2) D. Enskog, Diss. S. 36.
p206_2) Man vgl. hierzn und zum folgenden die analogen Betrachtungen von L. Boltzmann für ein Gas, das aus elastischen Kugeln besteht Vorlesungen I. S. 65 ff. 70 ff.).
p208_2) a. a. O. I. S. 590, Formel 10; über den Index v bei qv vgl. man II. S. 458, Anm. 1 und S. 471.
p209_1) II. S. 459, Formel (101), in der wieder v = 0 gesetzt ist.
p210_1) Man vgl. oben S. 198.
p210_2) Daß diese Verhältnisse maßgebend sind, ergibt sich aus der Analogie mit der Strahlungstheorie, aber auch aus der Analyse bei H. A. Lorentz, Abhandlungen über theoretische Physik I. Leipzig und Berlin 1907. IV. S. 85 ff.
p211_1) Man vergleiche für die folgenden Rechnungen E. Heine, Handbuch der Kugelfunktionen. 2. Aufl. Bd. I. Berlin 1878.
p215_2) L. Boltzmann, Wied. Ber. 66. S. 275. 1872.
p216_1) a. a. O. I. S. 596, 597.
p217_2) Man vergl. Enskog, Diss. S. 10 - 12. Natürlich kann man das im Text gegebene Resultat auch direkt aus (50) erhalten, indem man die Variablen c, φ, ζ wieder durch ξ, η, ζ ersetzt und bei den Gliedern mit X, Y, Z eine partielle Integration durchführt.
p218_1) Enskog, Diss. S. 13.
p222_1) Der Verfasser ist Hrn. Dr. Freidank für freundliche Hilfe bei diesen Rechnungen zu Dank verpflichtet.
p223_2) D. Enskog, Diss. S. 18.
p225_1) Man vgl. Boltzmann, Vorl. I. S. 150. 151.
p226_2) Man vgl. die analoge Sachlage in der Strahlungstheorie, a. a. O. I. S. 600. Verschwinden die äußeren Kräfte, so reduziert sich auch in der Gastheorie die Zahl der Ordnungen von 5 auf 3.
p229_1) D. Enskog, Diss. S. 22.
p229_2) Auch das entspricht dem Ansatz bei D. Enskog, nur daß bei uns die Funktionen fi nach Kugelfunktionen zerlegt sind.
p230_1) Man vgl. D. Enskog, Diss. S. 25.
p231_1) H. A. Lorentz, Vorträge über die kinetische Natur der Materie und der Elektrizität. S. 185 - 186. Leipzig 1914;
p231_2) D. Enskog, Diss. S. 44 ff.
p232_1) In der Bezeichnung schließen wir uns hier und im folgenden nach Möglichkeit an Enskog an.
p233_1) D. Enskog, Diss. S. 140 ff.
p233_2) D. Hilbert, a. a. O., S. 277;
p233_3) D. Hilbert, a. a. O.
p234_1) D. Hilbert, a. a. O., S. 278 ff.;
p235_1) Diss. Formel (55a); es ist nur zu berücksichtigen, daß unser I aus der gleich bezeichneten Größe bei Enskog durch Multiplikation mit γ0 = 1/ n s2 hervorgeht. Die Integralgeichungen (109) und (111) lassen sich übrigens auch nach einem von Chapman (Phil. Trans. [A] 216. S. 279. 1915)
p235_2) Enskog, Diss. S. 44 ff.
p236_1) Diss. Gl. 55b; man vgl. jedoch die Anm. 1 auf S. 235.
p236_2) D. Enskog, Diss. S. 41.
p237_2) Das soll heißen: diejenigen Glieder der makroskopischen Gleichungen, die bei Entwicklung nach Potenzen von λ0 mit λ01 multipliziert auftreten.
p238_1) G. Jaffe, I. S. 615 ff.; II. S. 465, 479.
p241_1) B. Baule, Ann. d. Phys. 44. S. 145. 1914.
p242_1) Aus der Untersuchung von Baule (a. a. O.) geht hervor, daß die Unterscheidung von „reflektierten“ und „absorbierten“ Molekülen streng genommen nicht ausreicht, sondern man muß Gruppen von Molekülen unterscheiden, die 1, 2, 3,… Reflexionen mit Wandmolekülen erfahren; da aber der Einfluß der ursprünglichen Geschwindigkeit schon nach sehr wenigen Stößen verloren geht, stellt die Unterscheidung von den zwei genannten Gruppen eine ausreichende Annäherung dar.
p243_1) Man vgl. die analogen Betrachtungen bei P. Clausing, (Ann. d. Phys. [5] 4. S. 533. 1930), die aber - wie aus der Darstellung im Text hervorgeht - nicht vollständig sind; es fehlt eine unserer Gleichung (138) analoge Beziehung und daher auch die entscheidende Grenzbedingung (142). Außerdem ist zu beachten, daß unsere Definitionen sich aus dem früher genannten Grunde (vgl. S. 239) durch den Faktor cos θ von den Clausingschen unterscheiden.
p244_1) Über die empirische Gültigkeit des Kosinusgesetzes vgl. man die Literaturzusammenstellung bei P. Clausing, Ann. d. Phys. [5] 4. S. 533. 1930.
p248_1) G. Jaffe, II. § 6.
p250_1) Man vgl. G. Jaffe, II. S. 477.
p251_1) Man vgl. heirzu die völlig analogen Betrachtungen II. S. 463.
p252_1) Man vgl. auch hierzu das Analogon aus der Strahlungstheorie II. S. 465.
Phys. Ztschr. 23. S. 500. 1922. Auf die beiden ersten Arbeiten wird im folgenden mit I, II und folgender Seitenzahl verwiesen.
Proc. Roy. Soc. 28. S. 304. 1879.
Wissenschaftl. Abh. I. 316. Leipzig 1909. Man vergl. S. 361 ff. Vorles. I. S. 185;
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