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p00_0) Vgl. auch den Vortrag von W. Wien, μber turbul. Bewegungen. Phys. Zeitschr. 8. 1904 und
p577_1) F. Noether, Zeitschr. f. angew. Math. u. Mech. 1. S. 125, 1921.
p577_2) R. v. Mises, Beitrag z. Oszillationsprobl.: Heinr. Weber-Festschrift. 1912. S. 252.
p577_3) L. Hopf, Ann. d. Phys. 44. S. 1. 1914.
p577_4) A. Sommerfeld, Atti d. IV. congr. int. dei Mathem. Rom 1909.
p577_5) O. Blumenthal, Sitzungsber. d. bayr. Akad. d. Wiss. S. 563. 1913.
p577_6) F. Noether, Nachr. d. Ges. d. Wiss. Göttingen 1917.
p578_1) L. Prandtl, Physik. Zeitschr. 23. S. 19. 1922 und O. Tietjens, Disset. Göttingen 1922.
p578_2) Vgl. bes. Zeitschr. f. angew. Math. u. Mech. 1. S. 233f. 1921.
p578_3) V. Ekman, Turbulent motions of Liquids. Arch. f. Mat. och fysik 6. S. 12. 1919.
p578_4) W. Ruckes, Dissert. Wμrzburg 1907.
p578_5) L. Schiller, Rauhigkeit und kritische Zahl. Physik. Zeitschr. 3. S. 412. 1920.
p582_1) Lord Rayleigh, Papers I. S. 361;
p582_2) Hierbei genμgt es aber keineswegs, das Profil durch Tangentenpolygone anzunähern, das Resultat hinsichtlich der möglichen Schwingungen wμrde dadurch völlig gefälscht.
p583_1) Vgl. auch L. Prandtl, Phys. Zeitschr. a. a. O.
p583_2) Vgl. z. B. C. W. Oseen, Beiträge z. Hydr. Ann. d. Phys. 46. S. 231 u. 623. 1915.
p601_1) Hierbei ist immer noch vorausgesetzt, daß R und α R groß und α R sei. Möglicherweise treten also kritische Reynoldssche Zahlen dann auf, wenn diese Voraussetzungen nicht mehr gelten. Die betreffenden Reynoldsschen Zahlen R dμrften aber dann bei so kleinen Werten liegen, daß sie physikalisch sicher keine Bedeutung haben.
p602_1) Zerlegt man φ in einen in y geraden und einen ungeraden Teil, so muß, wegen der Symmetrie von w - c und w, jeder Teil von φ fμr sich der Differentialgleichung (7a) und den Grenzbedingungen genμgen. Fμr die allgemeine Stabilitätsuntersuchung des Profils 1 - y2 ist es daher ausreichend, die beiden Fälle „φ gerade“ und „ungerade“ getrennt und nur diese beiden Fälle zu behandeln. Es ist aber leicht zu sehen, daß die Annahme symmetrischer Schwingungen, d. h. „φ ungerade“ zu keiner Lösung von (28) und daher nicht zu labilen Schwingungen fμhrt. Die Annahme „φ gerade“ genμgt also zur Stabilitätsuntersuchung. Dies ist insofern bemerkenswert, als hiernach alle symmetrischen Schwingungen stabil und nur unsymmetrische Störungen labil sind.
p606_1) Vgl. die in der Einleitung zitierten Arbeiten.
p606_2) Vgl. jedoch hierzu die interessanten Stabilitätsuntersuchungen der Couetteschen Bewegung gegen dreidimensionale Störungen. G. J. Taylor, Stability of a viscous liquid contained between two rotating cylinders. Phil. Transact. of the Royal Society London 223. S. 289 - 343. 1992.
p607_1) Auf diese Möglichkeit, die Ekmanschen Versuche als eine Art Anlaufeffekt aufzufassen, hat mich Hr. Professor Prandtl hingewiesen, dem ich hierfμr und fμr viele andere wertvolle Hinweise an dieser Stelle den herzlichsten Dank aussprechen möchte.
p607_2) Vielleicht sind aber die Störungen der Stabilität, die Ruckes a. a. O. bei ziemlich kleinen Reynoldsschen Zahlen beobachtet, durch die Labilität nach § 7 hervorgerufen. Dies wäre dann sehr wohl denkbar, wenn die kritische Reynoldssche Zahl nach § 7 unter derjenigen liegt, bei welcher zum ersten Male Turbulenz (vgl. Teil II) möglich ist.
p609_1) Vgl. F. Noether, a. a. O.
p609_2) Auch dieser Ansatz, der eine einfache Verallgemeinerung des Sommerfeldschen Stabilitätsansatzes darstellt, wurde zur Untersuchung der turbulenten Bewegung selbst von F. Noether: Zur Theorie der Turbulenz, Jahresber. d. deutsch. Math. Vereins 23. S. 138. 1914 ohne weitergehende Folgerungen angegeben.
p609_3) Zur Annahme eines bestimmten α berechtigt uns das Ergebnis von Teil I, daß α zwischen bestimmte Grenzen eingeschlossen ist, die insbesondere in der Nähe des Minimalwertes von R sehr eng sind.
p609_4) Wir brauchen nicht hervorzuheben, daß die wirklichen Bewegungsvorgänge zweifellos viel komplizierter sind; trotzdem kann man wohl erwarten, daß diese Ansätze qualitative Aussagen μber die Turbulenz gestatten.
p617_1) Wir wollen α2 als reell annehmen; dies bedeutet keine Beschränkung der Allgemeinheit, denn φ1 ist nur bis auf einen Faktor der Form eix bestimmt, da man in (36) den Anfangspunkt der Zeit beliebig wählen kann.
p619_1) Diese Potenzreihe η (w) läßt sich natμrlich auch dirket aus (46) und (47) ableiten, ohne den Umweg μber die Reihe von w (η), wenn w als unabhängige Veriable eingefμhrt wird. Doch sind die dazu nötigen Rechnungen etwas komplizierter.
p621_1) Vgl. die genaueren Untersuchungen von v. Kármán a. a. O. und die experimentellen Untersuchungen von Schiller, dieselbe Zeitschrift 3. S. 2. 1923.
p624_1) Auf diesen Knick hat mich freudlicherweise Hr. Prof. Prandtl auf Grund des empirischen Materials hingewiesen. Der Knick scheint dabei empirisch nicht so scharf zu sein, wie ihn die Rechnung ergibt, was sich wohl zwangslos dadurch erklärt, daß eben die Annahme (a) S. 609 μber die Symmetrie auch der Wirbel und Störungen nicht genau der Wirklichkeit entspricht.
Papers III. S. 575, 594;
Papers IV. S. 203.
Verh. d. deutsch. phys. Gesellsch. 9. 1907.
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